(filosofo, logico e matematico italo-cinese con inclinazione per la recitazione)
DIMOSTRAZIONE MIRABILE
“ … cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi.
Hanc marginis exiguitas non
caperet.”
Pierre de Fermat
Formula fondamentale per avviare una ricerca dimostrativa
dell’”Ultimo Teorema di
Fermat”:
xn + yn
= zn
x, y, z, n = numeri interi assoluti o naturali
Tabella A 1° gruppo di eguaglianze di 2° grado |
||||
Se poniamo al 1° grado |
Variazione maggiore |
e verifichiamo al 2° grado |
allora accertiamo che al 3° grado |
Variazione minore |
3+ 4> 5 |
+2 | 32+42=52 | 33+43<53 | -34 |
5+12>13 | +4 | 52+122=132 | 53+123<133 | -344 |
7+24>25 | +6 | 72+242=252 | 73+243<253 | -1458 |
9+40>41 | +8 | 92+402=412 | 93+403<413 | -4192 |
11+60>61 | +10 | 112+602=612 | 113+603<613 | -9650 |
13+84>85 | +12 | 132+842=852 | 133+843<853 | -19224 |
15+112>113 | +14 | 152+1122=1132 | 153+1123<1133 | -34594 |
17+144>145 | +16 | 172+1442=1452 | 173+1443<1453 | -57728 |
19+180>181 | +18 | 192+1802=1812 | 193+1803<1813 | -90882 |
21+220>221 | +20 | 212+2202=2212 | 213+2203<2213 | -136600 |
Formule
ausiliarie per il primo gruppo di eguaglianze al 2° grado, ricavate
dal procedimento e dall’osservazione della Tabella A: x = 2n + 1 ; y = (x2 – 1) : 2 ; z = (x2+ 1) : 2 |
Tabella B 2° gruppo di eguaglianze di 2° grado |
||||
Se poniamo al 1° grado |
Variazione maggiore |
e verifichiamo al 2° grado |
allora accertiamo che al 3° grado |
Variazione minore |
4+3>5 |
+2 |
42+32=52 |
43+33<53 |
-34 |
8+15>17 | +6 | 82+152=172 | 83+153<173 | -1026 |
12+35>37 | +10 | 122+352=372 | 123+353<373 | -6050 |
16+63>65 | +14 | 162+632=652 | 163+633<653 | -20482 |
20+99>101 | +18 | 202+992=1012 | 203+993<013 | -52002 |
24+143>145 | +22 | 242+1432=1452 | 243+1433<1453 | -110594 |
28+195>197 | +26 | 282+1952=1972 | 283+1953<1973 | -208546 |
32+255>257 | +30 | 322+2552=2572 | 323+2553<2573 | -360450 |
36+323>325 | +34 | 362+3232=3252 | 363+3233<3253 | -583202 |
40+399>401 | +38 | 402+3992=4012 | 403+3993<4013 | -896002 |
Formule
ausiliarie per il secondo
gruppo di eguaglianze al 2° grado, ricavate
dal procedimento e dall’osservazione della Tabella B: x = 4n ; y = (x : 2)2 – 1 ; z = (x : 2)2 + 1 |
Tabella C “Demonstratio mirabilis” dell’“Ultimo Teorema di Fermat” |
||||
Poniamo e verifichiamo |
Variazione
nulla e minore |
Grado |
Poniamo e verifichiamo |
Variazione maggiore |
1+2=3 | 0 | 1° | 3+4>5 | 2 |
32+42=52 | 0 | 2° | 52+62>72 | 12 |
53+63<73 | -2 | 3° | 73 +83>93 | 126 |
74+84<94 | -64 | 4° | 94 +104>114 | 1.920 |
95+105<115 | -2.002 | 5° | 115+125>135 | 38.590 |
116+126<136 | -69.264 | 6° | 136+146>156 | 965.720 |
137 +147<157 | -2.697.354 | 7° | 157+167>177 | 28.956.158 |
158 +168<178 | -117.899.520 | 8° | 178+188>198 | 1.012.154.976 |
179 +189<199 | -5.740.530.914 | 9° | 199+209>219 | 40.407.651.198 |
1910 +2010<2110 | -308.814.720.400 | 10° | 2110+2210>2310 | 1.813.292.555.976 |
Formule ausiliarie per terne
di numeri consecutivi elevati al grado n°, ricavate dal procedimento e
dall’osservazione della Tabella C: (2n
– 1)n +
(2n)n <
(2n + 1)n ; per n>2 (2n + 1)n + (2n + 2)n > (2n + 3)n ; per un qualunque valore di n |
Queste
ultime formule permettono di attribuire a ciascun grado superiore al 2° due terne consecutive
e coerenti di numeri consecutivi, entrambe con le minime variazioni, una minore
e una maggiore. Per ogni terna così formata e ordinata, a partire dalla terza,
esistono sempre e solo due gradi che ne fanno registrare il passaggio dalla
variazione maggiore a quella minore: gradi perciò anch’essi consecutivi.
Secondo
questo procedimento nessuna terna consecutiva e coerente può sfuggire a un
rigoroso controllo di una reale e virtuale “discesa all’infinito”, tecnica
dimostrativa inventata proprio da Fermat.
Poiché
tutte le altre terne coerenti di numeri parzialmente consecutivi (cioè solo due
numeri) o di non consecutivi, discendono da quelle formate da tre numeri
consecutivi, come dimostrano le Tabelle A e B, è chiaro che esse faranno
registrare sempre e solo variazioni sensibilmente minori o maggiori: dunque
l’enunciato di Fermat è dimostrato.
La
seguente Tabella D è la “prova del nove” di questa mirabile dimostrazione.
Tabella D |
|||
Modifica minima di x |
|||
Grado |
Modifichiamo x in x-2 e verifichiamo |
Variazione nulla e Variazione minore |
Grado |
1° | 1+4=5 | 0 | 1° |
2° | 32+62<72 | -4 | 2° |
3° | 53+83<93 | -92 | 3° |
4° | 74+104<114 | -2.240 | 4° |
5° | 95+125<135 | -63.412 | 5° |
6° | 116+146<156 | -2.089.528 | 6° |
7° | 137+167<177 | -79.154.700 | 7° |
8° | 158+188<198 | -3.400.711.840 | 8° |
9° | 179+209<219 | -163.692.170.084 | 9° |
10° | 1910+2210<2310 | -8.735.522.164.424 | 10° |
Con la modifica minima di x, la variazione maggiore della Tabella C si inverte | |||
Modifica minima di y | |||
Grado |
Modifichiamo y in y-2 e verifichiamo |
Variazione nulla e Variazione minore |
Grado |
1° | 2+3=5 | 0 | 1° |
2° | 42+52<72 | -8 | 2° |
3° | 63 +73<93 | -170 | 3° |
4° | 84 +94<114 | -3.984 | 4° |
5° | 105 +115<135 | -110.242 | 5° |
6° | 126 +136<156 | -3.577.832 | 6° |
7° | 147+157<177 | -134.065.794 | 7° |
8° | 168 +178< 198 | -5.712.838.304 | 8° |
9° | 189 +199<219 | -273.233.058.434 | 9° |
10° | 2010+2110<2310 | -14.506.630.235.448 | 10° |
Con la modifica minima di y, la variazione maggiore della Tabella C si inverte | |||
Modifica minima di z | |||
Grado |
Modifichiamo z in z+2 e verifichiamo |
Variazione nulla e Variazione minore |
Grado |
1° | 3+4=7 | 0 | 1° |
2° | 52 +62<92 | -20 | 2° |
3° | 73+83<113 | -476 | 3° |
4° | 94+104<134 | -12.000 | 4° |
5° | 115+125<155 | -349.492 | 5° |
6° | 136+146<176 | -11.781.224 | 6° |
7° | 157+167<197 | -454.576.908 | 7° |
8° | 178+188<218 | -19.827.141.344 | 8° |
9° | 199+209<239 | -966.464.963.684 | 9° |
10° | 2110+2210<2510 | -52.127.627.871.000 | 10° |
Con la modifica minima di z, la variazione maggiore della Tabella C si inverte |
Considerazioni
esplicative
Enunciato: La seguente formula non è risolvibile con numeri
interi per n>2
xn+ yn =zn
con x, y, z, n numeri interi assoluti o
naturali
Questa formula ammette soluzioni solo di
1° e di 2° grado.
Dato che per il primo grado ciò è
evidente, è sufficiente partire mostrando come la formula è soddisfatta al 2°
grado. Con le Tabelle A e B si mostra che tutte le soluzioni
possibili si sviluppano in due rami, partendo dalla terna di numeri primi tra
loro 3-4-5 o più precisamente dalle
basi delle eguaglianze 32+42=52 e
42+32=52, che essa può costituire. Si
scopre così che, invertendo semplicemente i valori di x e di y, si ottengono
due categorie di eguaglianze: la prima caratterizzata dalla differenza z – y = 1, mentre la seconda dalla
differenza z – y = 2; e, non essendo
ricavabili ulteriori mutazioni di distanza (riducibile sempre a un quadrato o a
un doppio quadrato) tra il termine
maggiore (z) e gli
altri due termini (x, y), dalle due disposizioni procedono tutte le
eguaglianze
possibili attraverso operazioni o per fattori o per addendi.
Ad esempio: moltiplicando per il fattore 2 le basi della prima (32+42=52),
si ottiene
62+82=102; mentre addizionando al primo membro di essa l’addendo 5, preso come x, consecutivo dispari di 3,
si ottiene tramite la somma 5+3+4 il numero 12, che corrisponderà a y, scoprendo così che il consecutivo 13 altro non è che il
valore da attribuire a z; e che si è
infine ottenuta una nuova terna,
formata anche questa da numeri primi fra loro, cioè 52+122=132 (Tab.
A).
Questo procedimento vale anche per la seconda (42+32=52),
che, pur equivalente per risultato, porta
a un altro ramo di terne formate da numeri anch’essi primi fra loro. In questo
caso addizionando al primo membro di
essa l’addendo 8, preso come x, consecutivo multiplo di 4, si ottiene tramite la somma 8+3+4 il
numero 15 che corrisponderà a y,
scoprendo così che il consecutivo dispari 17 altro
non è che il valore da attribuire a z;
e che si è infine ottenuta una nuova
terna, formata anche questa da numeri primi fra loro, cioè 82+152=172 (Tab. B).
E’ chiaro che si può procedere
all’infinito di terna in terna, catalogandole una dietro l’altra, nessuna
esclusa. Ma tutto ciò appare verosimilmente come un gioco allo specchio di
un’unica terna che si deforma costantemente secondo due diversi parametri.
A questo punto, per rintracciare una
qualsiasi terna, evitando una serie lunghissima di addizioni, si possono
utilizzare nel modo più opportuno le formule ausiliarie, che sintetizzano i
rapporti costanti osservati nello scorrimento di una discreta “teoria” di
eguaglianze: formule che, simili a un vero e proprio veicolo velocissimo (si
direbbe istantaneo), permettono di giungere, caricando la x del “carburante occorrente”, fino alla y e alla z, cioè a quei
valori che insieme ad essa soddisfano la formula fondamentale.
Si è voluto mettere in evidenza il procedimento
per addendi per dimostrare che, data una qualsiasi eguaglianza di 2° grado, è e
deve essere sempre possibile non solo farla derivare da una terna più semplice
(o con basi minori), se essa non lo è già, ma anche risalire ad essa.
Se ciò risulta evidente con la semplice
osservazione delle Tabelle A e B, che permettono di stabilire con assoluta
precisione un’unica ed identica origine per tutte le terne di 2° grado, basterà
osservare la prima terna di 1° grado, 1+2=3, per capire che tutte le eguaglianze possibili al grado medesimo
derivano da essa e risalgono a questa “fortunatissima” prima terna di 1° grado.
Non rimane dunque che estendere lo stesso
procedimento ai gradi superiori al secondo attraverso uno scorrimento di tutte
le terne coerenti (rapporto pari/dispari) e successive alle prime due e quindi
direttamente collegate ad esse e tra loro tramite un elemento numerico
progressivo, che comparirà almeno quattro volte (due come somma e due come
differenza) su tre gradi consecutivi. La Tabella
C è il risultato “mirabile” del medesimo procedimento: si tratta, infatti,
di un quadro sinottico che permette di dimostrare o, meglio ancora, di
“mostrare” con insuperabile evidenza il senso dell’”Ultimo teorema di Fermat”.
Questa evidenza può apparire addirittura tanto inaudita quanto conclamata e
tale da essere praticamente a livello delle evidenze osservabili in una
tabellina pitagorica. Che cosa può essere più evidente o “mirabile” di un
simile quadro? Dove si trova, ad esempio, “dimostrato” con più evidenza che un
numero intero pari moltiplicato per un altro qualsiasi numero intero grande
quanto si vuole produrrà sempre un numero intero pari?
Osservando la Tabella C si vede che ogni grado superiore al secondo è
“incastrato” tra due terne coerenti e consecutive di numeri consecutivi
esprimenti variazioni di segno contrario, cioè segnalanti che sarebbe pura
perdita di tempo avviare ulteriori tentativi di ricerca con eventuali terne di
numeri consecutivi, allo scopo di soddisfare la formula fondamentale.
A questo punto si deve solo mostrare che neanche una qualunque terna di numeri non
consecutivi può soddisfare la
formula fondamentale, se a n
viene dato un valore superiore a 2.
Una simile dimostrazione o controllo
non può che procedere a partire dall’attenta osservazione della stessa Tabella C, che può subire tentativi
validi di modifica solo sulle terne che presentano il risultato della
“variazione maggiore”.
La Tabella D mostra che è sufficiente controllare cosa capita alla minima modifica di una terna di numeri consecutivi o al minimo passaggio di essa verso numeri non consecutivi: la variazione maggiore scompare lasciando il posto a quella minore (non si prende in considerazione la modifica y+2, perché dà luogo a una serie di terne con x e y dispari, per le quali l’enunciato di Fermat è vero per n >1:
si può, infatti, a partire da
1+3=4,
3+5>6, 32+52<62, 52+72>82,
53+73<83
ecc. , presentare, a guisa della Tabella
C, un quadro, che “spiega” per
queste terne l’estensione del Teorema al 2° grado, confermando indirettamente
la completezza delle Tabelle A e
B). Da qui è chiaro che ogni ulteriore tentativo di controllo coerente
produrrà risultati di variazioni sempre minori (ovvero maggiori in valore
assoluto). Tutto sommato si può affermare che la Tabella D è pleonastica rispetto a quanto evidenziato dalle altre
tabelle ed in particolare dalla Tabella
C.
Non c'è altro da aggiungere.
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