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(filosofo, logico e matematico italo-cinese con inclinazione per la recitazione)

 

 

DIMOSTRAZIONE MIRABILE

 

“ … cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. 

Hanc marginis exiguitas non caperet.”

                                                                                                Pierre de Fermat

 

 

Formula fondamentale per avviare una ricerca dimostrativa

dell’”Ultimo Teorema di Fermat”:

xn + yn = zn

x, y, z, n = numeri interi assoluti o naturali

 

 

  

Tabella A

1° gruppo di eguaglianze di 2° grado

Se poniamo al

1° grado

Variazione

maggiore

e  verifichiamo

al 2° grado

allora  accertiamo che

al 3° grado

Variazione

minore

3+ 4> 5

 +2  32+42=52  33+43<53 -34
 5+12>13  +4 52+122=132  53+123<133 -344
7+24>25  +6 72+242=252  73+243<253 -1458
9+40>41  +8  92+402=412  93+403<413 -4192
 11+60>61  +10  112+602=612 113+603<613 -9650
 13+84>85  +12  132+842=852  133+843<853 -19224
 15+112>113  +14  152+1122=1132  153+1123<1133 -34594
 17+144>145  +16  172+1442=1452  173+1443<1453 -57728
 19+180>181  +18 192+1802=1812 193+1803<1813 -90882
 21+220>221  +20  212+2202=2212  213+2203<2213 -136600

Formule ausiliarie per il primo gruppo di eguaglianze al 2° grado,

ricavate dal procedimento e dall’osservazione della Tabella A:

x = 2n + 1 ;     y = (x2 – 1) : 2 ;     z = (x2+ 1) : 2 

 

 

Tabella B

2° gruppo di eguaglianze di 2° grado

Se poniamo al

1° grado

Variazione

maggiore

e  verifichiamo

al 2° grado

allora  accertiamo che

al 3° grado

Variazione

minore

4+3>5

 +2

42+32=52

43+33<53

-34
 8+15>17  +6  82+152=172  83+153<173 -1026
12+35>37  +10 122+352=372 123+353<373 -6050
16+63>65  +14 162+632=652 163+633<653 -20482
20+99>101  +18 202+992=1012 203+993<013 -52002
24+143>145  +22 242+1432=1452 243+1433<1453 -110594
28+195>197  +26 282+1952=1972 283+1953<1973 -208546
32+255>257  +30 322+2552=2572 323+2553<2573 -360450
36+323>325  +34 362+3232=3252 363+3233<3253 -583202
40+399>401  +38 402+3992=4012 403+3993<4013 -896002

Formule ausiliarie per il secondo gruppo di eguaglianze al 2° grado,

ricavate dal procedimento e dall’osservazione della Tabella B:

x = 4n ;     y = (x : 2)2 – 1 ;     z = (x : 2)2 + 1 

 

 

Tabella C

“Demonstratio mirabilis” dell’“Ultimo Teorema di Fermat”

Poniamo

e

verifichiamo

Variazione nulla

e minore

Grado

Poniamo

e

verifichiamo

Variazione

maggiore

1+2=3 0 3+4>5 2
32+42=52 0 52+62>72 12
53+63<73 -2 73 +83>93 126
74+84<94 -64 94 +104>114 1.920
95+105<115 -2.002 115+125>135 38.590
116+126<136 -69.264 136+146>156 965.720
137 +147<157 -2.697.354 157+167>177 28.956.158
158 +168<178 -117.899.520 178+188>198 1.012.154.976
179 +189<199 -5.740.530.914 199+209>219 40.407.651.198
1910 +2010<2110 -308.814.720.400 10° 2110+2210>2310 1.813.292.555.976

Formule ausiliarie per terne di numeri consecutivi elevati al grado n°, ricavate dal procedimento e dall’osservazione della Tabella C:

 (2n – 1)n + (2n)n < (2n + 1)n ;  per n>2

(2n + 1)n + (2n + 2)n > (2n + 3)n ;  per un qualunque valore di n

 

Queste ultime formule permettono di attribuire a ciascun grado superiore al 2° due terne consecutive e coerenti di numeri consecutivi, entrambe con le minime variazioni, una minore e una maggiore. Per ogni terna così formata e ordinata, a partire dalla terza, esistono sempre e solo due gradi che ne fanno registrare il passaggio dalla variazione maggiore a quella minore: gradi perciò anch’essi consecutivi.

Secondo questo procedimento nessuna terna consecutiva e coerente può sfuggire a un rigoroso controllo di una reale e virtuale “discesa all’infinito”, tecnica dimostrativa inventata proprio da Fermat.

Poiché tutte le altre terne coerenti di numeri parzialmente consecutivi (cioè solo due numeri) o di non consecutivi, discendono da quelle formate da tre numeri consecutivi, come dimostrano le Tabelle A e B, è chiaro che esse faranno registrare sempre e solo variazioni sensibilmente minori o maggiori: dunque l’enunciato di Fermat è dimostrato.

La seguente Tabella D è la “prova del nove” di questa mirabile dimostrazione.

 

 

 Tabella D

Modifica minima di x

Grado

Modifichiamo

x in x-2

e verifichiamo

Variazione nulla

e

Variazione minore

Grado

1+4=5 0
32+62<72 -4
53+83<93 -92
74+104<114 -2.240
95+125<135 -63.412
116+146<156 -2.089.528
137+167<177 -79.154.700
158+188<198 -3.400.711.840
179+209<219 -163.692.170.084
10° 1910+2210<2310 -8.735.522.164.424 10°
Con la modifica minima di x,  la variazione maggiore della Tabella C si inverte
Modifica minima di y
Grado

Modifichiamo

y in y-2

e verifichiamo

Variazione nulla

e

Variazione minore

Grado
2+3=5 0
42+52<72 -8
63 +73<93 -170
84 +94<114 -3.984
105 +115<135 -110.242
126 +136<156 -3.577.832
147+157<177 -134.065.794
168 +178< 198 -5.712.838.304
189 +199<219 -273.233.058.434
10° 2010+2110<2310 -14.506.630.235.448 10°
Con la modifica minima di y,  la variazione maggiore della Tabella C si inverte
Modifica minima di z
Grado

Modifichiamo

z in z+2

e verifichiamo

Variazione nulla

e

Variazione minore

Grado
3+4=7 0
52 +62<92 -20
73+83<113 -476
94+104<134 -12.000
115+125<155 -349.492
136+146<176 -11.781.224
157+167<197 -454.576.908
178+188<218 -19.827.141.344
199+209<239 -966.464.963.684
10° 2110+2210<2510 -52.127.627.871.000 10°
Con la modifica minima di z,  la variazione maggiore della Tabella C si inverte

 

 

Considerazioni esplicative

 

Enunciato: La seguente formula non è risolvibile con numeri interi per n>2

xn+ yn =zn

con x, y, z, n numeri interi assoluti o naturali

 

Questa formula ammette soluzioni solo di 1° e di 2° grado.

Dato che per il primo grado ciò è evidente, è sufficiente partire mostrando come la formula è soddisfatta al 2° grado. Con le Tabelle A e B si mostra che tutte le soluzioni possibili si sviluppano in due rami, partendo dalla terna di numeri primi tra loro 3-4-5 o più precisamente dalle basi delle eguaglianze 32+42=52 e  42+32=52, che essa può costituire. Si scopre così che, invertendo semplicemente i valori di x e di y, si ottengono due categorie di eguaglianze: la prima caratterizzata dalla differenza z – y = 1, mentre la seconda dalla differenza z – y = 2; e, non essendo ricavabili ulteriori mutazioni di distanza (riducibile sempre a un quadrato o a un doppio quadrato) tra il termine maggiore (z) e gli altri due termini (x, y), dalle due disposizioni procedono tutte le eguaglianze possibili attraverso operazioni o per fattori o per addendi.

Ad esempio: moltiplicando per il fattore 2 le basi della prima (32+42=52), si ottiene 62+82=102; mentre addizionando al primo membro di essa l’addendo 5, preso come x, consecutivo dispari di 3, si ottiene tramite la somma 5+3+4 il numero 12, che corrisponderà a y, scoprendo così che il consecutivo 13  altro non è che il valore da attribuire a z; e che si è infine ottenuta una nuova terna, formata anche questa da numeri primi fra loro, cioè  52+122=132 (Tab. A).

Questo procedimento vale anche per la seconda (42+32=52), che, pur equivalente per risultato, porta a un altro ramo di terne formate da numeri anch’essi primi fra loro. In questo caso addizionando al primo membro di essa l’addendo 8, preso come x, consecutivo multiplo di 4, si ottiene tramite la somma 8+3+4 il numero 15 che corrisponderà a y, scoprendo così che il consecutivo dispari 17 altro non è che il valore da attribuire a z; e che si è infine ottenuta una nuova terna, formata anche questa da numeri primi fra loro, cioè 82+152=172 (Tab. B).

E’ chiaro che si può procedere all’infinito di terna in terna, catalogandole una dietro l’altra, nessuna esclusa. Ma tutto ciò appare verosimilmente come un gioco allo specchio di un’unica terna che si deforma costantemente secondo due diversi parametri.

A questo punto, per rintracciare una qualsiasi terna, evitando una serie lunghissima di addizioni, si possono utilizzare nel modo più opportuno le formule ausiliarie, che sintetizzano i rapporti costanti osservati nello scorrimento di una discreta “teoria” di eguaglianze: formule che, simili a un vero e proprio veicolo velocissimo (si direbbe istantaneo), permettono di giungere, caricando la x del “carburante occorrente”, fino alla y e alla z, cioè a quei valori che insieme ad essa soddisfano la formula fondamentale.

Si è voluto mettere in evidenza il procedimento per addendi per dimostrare che, data una qualsiasi eguaglianza di 2° grado, è e deve essere sempre possibile non solo farla derivare da una terna più semplice (o con basi minori), se essa non lo è già, ma anche risalire ad essa.

Se ciò risulta evidente con la semplice osservazione delle Tabelle A e B, che permettono di stabilire con assoluta precisione un’unica ed identica origine per tutte le terne di 2° grado, basterà osservare la prima terna di 1° grado, 1+2=3, per capire che tutte le eguaglianze possibili al grado medesimo derivano da essa e risalgono a questa “fortunatissima” prima terna di 1° grado.

Non rimane dunque che estendere lo stesso procedimento ai gradi superiori al secondo attraverso uno scorrimento di tutte le terne coerenti (rapporto pari/dispari) e successive alle prime due e quindi direttamente collegate ad esse e tra loro tramite un elemento numerico progressivo, che comparirà almeno quattro volte (due come somma e due come differenza) su tre gradi consecutivi. La Tabella C è il risultato “mirabile” del medesimo procedimento: si tratta, infatti, di un quadro sinottico che permette di dimostrare o, meglio ancora, di “mostrare” con insuperabile evidenza il senso dell’”Ultimo teorema di Fermat”. Questa evidenza può apparire addirittura tanto inaudita quanto conclamata e tale da essere praticamente a livello delle evidenze osservabili in una tabellina pitagorica. Che cosa può essere più evidente o “mirabile” di un simile quadro? Dove si trova, ad esempio, “dimostrato” con più evidenza che un numero intero pari moltiplicato per un altro qualsiasi numero intero grande quanto si vuole produrrà sempre un numero intero pari?

Osservando la Tabella C si vede che ogni grado superiore al secondo è “incastrato” tra due terne coerenti e consecutive di numeri consecutivi esprimenti variazioni di segno contrario, cioè segnalanti che sarebbe pura perdita di tempo avviare ulteriori tentativi di ricerca con eventuali terne di numeri consecutivi, allo scopo di soddisfare la formula fondamentale.

A questo punto si deve solo mostrare che neanche una qualunque terna di numeri non consecutivi può soddisfare la formula fondamentale, se a n viene dato un valore superiore a 2. Una simile dimostrazione o controllo  non può che procedere a partire dall’attenta osservazione della stessa Tabella C, che può subire tentativi validi di modifica solo sulle terne che presentano il risultato della “variazione maggiore”.

La Tabella D mostra che è sufficiente controllare cosa capita alla minima modifica di una terna di numeri consecutivi o al minimo passaggio di essa verso numeri non consecutivi: la variazione maggiore scompare lasciando il posto a quella minore (non si prende in considerazione la modifica  y+2, perché dà luogo a una serie di terne con x e y dispari, per le quali l’enunciato di Fermat è vero per n >1: 

si può, infatti, a partire da 1+3=4, 3+5>6,  32+52<62, 52+72>82, 53+73<83 ecc. , presentare, a guisa della Tabella C, un quadro, che “spiega” per queste terne l’estensione del Teorema al 2° grado, confermando indirettamente la completezza delle Tabelle A e B). Da qui è chiaro che ogni ulteriore tentativo di controllo coerente produrrà risultati di variazioni sempre minori (ovvero maggiori in valore assoluto). Tutto sommato si può affermare che la Tabella D è pleonastica rispetto a quanto evidenziato dalle altre tabelle ed in particolare dalla Tabella C.

Non c'è altro da aggiungere.

 

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