Salvatore Baldinu

(filosofo, logico e matematico italo-cinese con inclinazione per la recitazione)

3) Deriva che non è affatto corretto concedere l’attributo “ellittica” a un’equazione in base alla forma (aspetto o somiglianza) di essa, ma solo in base alla funzione (collocazione o collegamento) della medesima equazione.

1) Data la dimostrazione dell’enunciato “Tutte le equazioni ellittiche corrispondono a forme modulari”;

2) Dato che “L’equazione (…) di Frey non corrisponde in nessun caso a una forma modulare”;

3) Consegue, semplicemente, che l’equazione di Frey non può dirsi “ellittica”.

La fase logica concerne un ragionamento schematizzabile in quattro punti, che si apre con l’ipotesi di falsità di un primo enunciato e si chiude con la conseguente certezza di falsità di un secondo enunciato; quindi lo stesso ragionamento è ripercorso in senso inverso, procedendo dall’ipotesi di verità del secondo enunciato fino alla conseguente certezza di verità del primo.

La fase matematica concerne una dimostrazione del secondo enunciato della fase logica attraverso opportune strategie di calcolo applicato a formule, che esprimono con simboli convenzionali alcuni tipi di relazioni tra i numeri.

La fase logica ha l’implicito scopo di collegare il primo enunciato al secondo in modo così inestricabile da poter permettere di dichiarare la verità del primo, se si dimostrasse la verità del secondo. Questa fase appare, pertanto, necessaria per avviare il tentativo di dimostrare la falsità/verità del primo enunciato, ma non è sufficiente, perché il ragionamento in essa espresso richiede come condizione la dimostrazione di falsità/verità del secondo.

La fase matematica ha l’esplicito scopo di dimostrare la verità del secondo enunciato, affinché si possa dichiarare l’automatica verità anche del primo. La fase matematica appare, pertanto, assolutamente indipendente dalla fase logica solo riguardo al metodo con cui si dimostra la verità del secondo enunciato.

Quest’ultima considerazione è evidente se si pensa che la dimostrazione del secondo enunciato (la congettura di Taniyama-Shimura) avrebbe potuto essere fornita ben prima di quella di Wiles, forse, da uno degli stessi ideatori prematuramente scomparso, Taniyama.

La stessa fase matematica, d’altra parte, è totalmente condizionata dalla fase logica riguardo all’attendibilità dell’intero procedimento dimostrativo di Wiles, perché la fase logica appare anche propedeutica a quella matematica in funzione dello scopo da raggiungere.

Se è chiaro, però, che l’intero procedimento dimostrativo dell’Ultimo Teorema di Fermat da parte di Wiles si fonda sulla fase logica, allora, prima di entrare nel merito di una possibile confutazione di esso, va sollevata un’eccezione di competenza della disciplina preposta al giudizio di legittimità o di nullità della dimostrazione del matematico inglese.

La Logica e solo essa sarà, a ragione, l’unico “organo giurisdizionale” idoneo a valutare in prima istanza la base dell’impianto di Wiles².

Consideriamo il ragionamento della fase logica di Wiles, riportandone il testo, tratto da “L’Ultimo Teorema di Fermat” di Simon Singh, il giornalista che ne ha divulgato con gran successo la dimostrazione (fonte a cui mi limiterò, sia per semplicità sia perché l’autore dichiara di aver svolto studi universitari di matematica: mi fido!).

(1) Se (e solo se) l’Ultimo Teorema di Fermat è falso, allora l’equazione ellittica di Frey esiste³.

(2) L’equazione ellittica di Frey è così strana che non può in nessun caso essere modulare⁴.

(3) La congettura di Taniyama-Shimura afferma che ogni equazione ellittica deve essere modulare.

(1) Se è possibile dimostrare che la congettura di Taniyama-Shimura è vera, allora ogni equazione ellittica deve essere modulare.

(2) Se ogni equazione ellittica deve essere modulare, allora l’equazione ellittica di Frey non può esistere.

(3) Se l’equazione ellittica di Frey non esiste, allora l’equazione di Fermat non può avere soluzioni.

Come è evidente, se l’argomentazione poggia su una logica stringente, basata a sua volta su dati certi (l’equazione ellittica di Frey), si dovrà soltanto dimostrare la verità della congettura di Taniyama-Shimura per cogliere senza altri sforzi quella dell’Ultimo Teorema di Fermat.

E’ noto che, nel 1995, Wiles ha dimostrato la congettura di Taniyama-Shimura: la comunità scientifica, pertanto, la considera un teorema acquisito.

Allo stesso Wiles è stato anche riconosciuto, con un ambito premio, il merito di aver dimostrato finalmente l’Ultimo Teorema di Fermat.

Tutti sono d’accordo, comunque, nel ritenere che Wiles sia pervenuto a questa conclusione in modo indiretto e che la sua soluzione sia ben lontana da quella che lo stesso Fermat riferì di aver trovato: una “dimostrazione meravigliosa” che, a credergli, dovrebbe essere raggiungibile solo ricostruendo una strategia di tipo diretto o sperimentale⁵.

Se il risultato di Wiles è universalmente condiviso, allora il procedimento che ha condotto ad esso potrà essere esteso ad altre congetture.

Applichiamo, quindi, lo stesso metodo dimostrativo a un’altra congettura, che potrebbe suscitare un certo interesse.

(1) Se (e solo se) la “Demonstratio mirabilis di Fermat” è falsa, allora la dimostrazione indiretta di Wiles esiste.

(2) La dimostrazione indiretta di Wiles è così strana che non può in nessun caso essere diretta.

(3) La congettura di Chip En Sai afferma che ogni dimostrazione indiretta deve essere diretta⁷.

In alternativa, l’argomentazione (di Chip En Sai) può essere condotta al contrario:

(1) Se è possibile dimostrare che la congettura di Chip En Sai è vera, allora ogni dimostrazione indiretta deve essere diretta.

(2) Se ogni dimostrazione indiretta deve essere diretta, allora la dimostrazione indiretta di Wiles non può esistere.

(3) Se la dimostrazione indiretta di Wiles non esiste, allora l’equazione di Fermat non può avere soluzioni.

Come è evidente, se l’argomentazione poggia su una logica stringente, basata a sua volta su dati certi (la dimostrazione indiretta di Wiles), si dovrà soltanto dimostrare la verità della congettura di Chip En Sai per cogliere senza altri sforzi quella della “Demonstratio mirabilis di Fermat”.

Richiamando l’eccezione di competenza, questa dimostrazione non può che essere di natura logica.

(1) Se la congettura di Taniyama-Shimura è falsa, allora un’equazione ellittica che non sia modulare esiste.

(2) L’equazione ellittica di Frey è così strana che non può in nessun caso essere modulare.

(3) L’equazione ellittica di Frey esiste se (e solo se) l’Ultimo Teorema di Fermat è falso.

In alternativa, l’argomentazione (di Chip En Sai) può essere condotta al contrario:

(1) Se è possibile dimostrare che l’Ultimo Teorema di Fermat è vero, allora l’equazione ellittica di Frey non esiste.

(2) Se l’equazione ellittica di Frey non esiste, allora non esiste un’equazione ellittica che non sia modulare.

(3) Se non esiste un’equazione ellittica che non sia modulare, allora tutte le equazioni ellittiche devono essere modulari secondo Taniyama e Shimura.

Come è evidente, se l’argomentazione poggia su una logica stringente, basata a sua volta su dati certi (l’equazione ellittica di Frey), si dovrà soltanto dimostrare la verità dell’Ultimo Teorema di Fermat per cogliere senza altri sforzi quella della congettura di Taniyama-Shimura.

Il confronto tra questo ragionamento e quello di Wiles, permette di rilevare senza ombra di dubbio che la congettura di Fermat (UTF) e quella di Taniyama-Shimura sono contemporaneamente l’una per l’altra, con simmetrica reciprocità, mezzo e fine per la propria dimostrazione ovvero per la promozione di esse a teoremi.

Se è possibile, dunque, dimostrare sia indirettamente sia direttamente ognuna delle due, allora la congettura di Chip En Sai diventa un teorema logico.

Tale teorema, però, dimostrerebbe solo indirettamente l’inesistenza della dimostrazione indiretta di Wiles, cioè la sua falsità; e se ciò è vero, allora è possibile e doveroso presentare anche una dimostrazione diretta della falsità o una confutazione della stessa soluzione del matematico inglese⁹.

Dimostrazione diretta della falsità (confutazione) della fase logica di Wiles

Se bastasse il solo controesempio alla fase logica di Wiles, costituito con la dimostrazione indiretta della “Demonstratio mirabilis di Fermat”, tutto il ragionamento fin lì svolto contraddirebbe di conseguenza il “teorema logico”: di qui la necessità di richiamare una dimostrazione diretta (direi, di carattere storico!) della falsità del procedimento dimostrativo di Wiles (tramite Frey), che finora è stata volutamente sottaciuta, ma che si capirà essere precedente (vedi il testo del telegramma) al medesimo controesempio, escogitato e anteposto solo per divertimento.

Consideriamo, perciò, lo stesso testo della fase logica come dato sperimentale e ragioniamoci un po’ sopra, partendo dal seguente quesito:

Se la congettura di Taniyama-Shimura fosse stata riconosciuta come teorema un discreto tempo prima della soluzione di Wiles, magari con una dimostrazione degli stessi autori, si sarebbe poi capito di aver dimostrato automaticamente e indirettamente vero l’Ultimo Teorema di Fermat?

Se, infatti, nell’ipotesi suddetta, gli stessi Taniyama e Shimura, per ottenere anche il riconoscimento della dimostrazione dell’UTF, avessero proposto di considerare “l’equazione ellittica di Frey” così strana che non può essere in nessun caso modulare, si sarebbero sentiti rispondere qualcosa del genere:

Se la formula cui è giunto Frey non è modulare, allora semplicemente essa non corrisponde a un’equazione ellittica, perché voi avete dimostrato che tutte le ellittiche devono essere modulari.

Se, dunque, priviamo dell’attributo “ellittica” l’equazione di Frey e rileggiamo il testo della fase logica di Wiles, crolla inesorabilmente e con gran frastuono tutto il suo ragionamento, su cui finora si è retta l’inestricabilità del rapporto tra l’Ultimo Teorema di Fermat e quello (ormai riconosciuto!) di Taniyama-Shimura: il primo è ora (se non fosse per me!) così pericolante da candidarsi alla retrocessione in “congettura”.

L’inversione del metodo dimostrativo, che di norma e regola non si avvia con un ragionamento per assurdo, ma con esso si conclude¹⁰.

La dimostrazione di Wiles incorre in questo errore di fondo, come il testo della sua fase logica esprime a chiare lettere, quindi è nulla o illegittima.

Una qualunque dimostrazione di una qualunque congettura matematica può essere avviata per assurdo solo dopo una prima dimostrazione diretta o sperimentale della stessa congettura, pena l’assurdità dell’intero procedimento dimostrativo.

¹ Poiché l’accademico non ha risposto, è bene che non lo nomini.

² Per “Logica” intendo il comune buon senso: perciò, non sarà necessario avere specifiche competenze logico-matematiche; e, inoltre si potrà seguire il discorso anche senza alcuna cognizione dell’Ultimo Teorema di Fermat e con il solo enunciato della congettura di Taniyama-Shimura.

³ Si tratta di un’equazione ottenuta attraverso astruse alchimie tra due formule di Fermat presentate con simboli alfabetici diversi; essa risulta avere un’incognita in meno rispetto alle equazioni ellittiche. Considerando, però, uguale a zero la stessa incognita, l’equazione di Frey è stata ugualmente definita “ellittica”, anche se “strana”, perché risulterebbe “molto somigliante” (come se un mezzo a tre ruote venisse chiamato “autovettura” anziché “triciclo”!… e poiché altre eventuali incognite mancanti potevano ritenersi uguali a zero, si poteva senz’altro utilizzare qualche ellittica ancora più strana!).

⁴ L’espressione “essere modulare” è sintetica e sta per “corrispondere a una forma modulare”.

⁵ Se i numeri fossero visti come enti fisici, i cui fenomeni dovessero essere oggetto di osservazione diretta senza, cioè, che, per dimostrare qualcosa su di essi, li si sostituisse con le lettere (simboli forse più nobili, ma meno matematici), con la pretesa di un adeguato rigore dimostrativo; e se, invece, le lettere fossero usate solo come simboli delle formule, cui si giungesse dopo l’osservazione e l’esperimento, secondo il metodo della ricerca in Fisica.

⁶ La dimostrazione mirabile, che Fermat ritenne di aver scoperto: che si può intendere solo come risultato di un metodo diretto o sperimentale (ad es., di tipo geometrico!).

⁷ La trasposizione, qui fatta, è coerente rispetto al punto (3) della fase logica di Wiles, poiché ogni equazione ellittica e ogni corrispondente forma modulare risolvono correttamente lo stesso problema in modo diverso, quindi l’una più direttamente dell’altra o viceversa, secondo i casi.

⁸ Più esplicitamente: se una congettura matematica può essere dimostrata indirettamente, tramite la dimostrazione di un’altra, allora l’una deve essere dimostrata anche direttamente o in modo assolutamente indipendente dall’altra e da qualunque altra congettura, altrimenti si otterrebbe soltanto un corollario di un altro teorema e non un teorema vero e proprio.

⁹ Non si mette, comunque, in discussione la dimostrazione diretta da parte di Wiles della congettura di Taniyama-Shimura, ma essa sola non basta a dimostrare quella di Fermat, che potrà essere dimostrata forse solo direttamente (una dimostrazione diretta o “mirabile” dell’Ultimo Teorema è già in mio possesso e sarà oggetto di una imminente pubblicazione per l’edizione Scritti Volanti).

¹⁰ È evidente che, se la dimostrazione per assurdo di un’ipotesi potesse correttamente precedere la dimostrazione vera e propria, allora l’assurdità delle conclusioni del ragionamento per assurdo non potrebbe basarsi su alcuna verità o certezza? Insomma, l’assurdità di un’ipotesi o di una congettura deve avere un fondamento in qualcosa di assolutamente contrario alla stessa ipotesi o congettura, cioè nella certezza o nel teorema della assurdità di ciò che si è ipotizzato o congetturato: e come si può essere certi di questa assurdità se la dimostrazione vera e propria o il teorema non la precede?