content="salvatore baldinu.it"><META NAME="description" content=""><META NAME="keywords" content="Pierre de Fermat, demostratio mirabilis, confutazione semplice, la contesa tra achille e agamennone, Teorema di Fermat" " .><META NAME="robots" content="ALL"><meta name="author" content="www.rodolfoweb.com"> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=windows-1252"> <meta name="GENERATOR" content="Microsoft FrontPage 4.0"> <meta name="ProgId" content="FrontPage.Editor.Document">

SALVATORE BALDINU

Origine delle Terne Pitagoriche

1° Quadro: originario

Partendo dalla terna più semplice, 3-4-5, si possono costruire infinite terne caratterizzate dalla distanza “a” tra il primo numero di una terna e il primo numero della successiva e dalla distanza “b” tra il secondo numero e il terzo di ogni terna.
3²+4²=5²			5²+12²=13²			7²+24²=25²			9²+40²=41²			11²+60²=61²			13²+84²=85²			15²+112²=113²			17²+144²=145²			19²+180²=181²			21²+220²=221²
4	3	5	12	5	13	24	7	25	40	9	41	60	11	61	84	13	85	112	15	113	144	17	145	180	19	181	220	21	221
8	15	17	28	45	53	60	91	109	104	153	185	160	231	281	228	325	397	308	435	533	400	561	689	504	703	865	620	861	1061
12	35	37	44	117	125	96	247	265	168	425	457	260	651	701	372	925	997	504	1247	1345	656	1617	1745	828	2035	2197	1020	2501	2701
16	63	65	60	221	229	132	475	493	232	825	857	360	1271	1321	516	1813	1885	700	2451	2549	912	3185	3313	1152	4015	4177	1420	4941	5141
20	99	101	76	357	365	168	775	793	296	1353	1385	460	2091	2141	660	2989	3061	896	4047	4145	1168	5265	5393	1476	6643	6805	1820	8181	8381
24	143	145	92	525	533	204	1147	1165	360	2009	2041	560	3111	3161	804	4453	4525	1092	6035	6133	1424	7857	7985	1800	9919	10081	2220	12221	12421
28	195	197	108	725	733	240	1591	1609	424	2793	2825	660	4331	4381	948	6205	6277	1288	8415	8513	1680	10961	11089	2124	13843	14005	2620	17061	17261
32	255	257	124	957	965	276	2107	2125	488	3705	3737	760	5751	5801	1092	8245	8317	1484	11187	11285	1936	14577	14705	2448	18415	18577	3020	22701	22901
36	323	325	140	1221	1229	312	2695	2713	552	4745	4777	860	7371	7421	1236	10573	10645	1680	14351	14449	2192	18705	18833	2772	23635	23797	3420	29141	29341
40	399	401	156	1517	1525	348	3355	3373	616	5913	5945	960	9191	9241	1380	13189	13261	1876	17907	18005	2448	23345	23473	3096	29503	29665	3820	36381	36581
a=4	S2	b=2	a=16	S4	b=8	a=36	S6	b=18	a=64	S8	b=32	a=100	S10	b=50	a=144	S12	b=72	a=196	S14	b=98	a=256	S16	b=128	a=324	S18	b=162	a=400	S20	b=200
x=4n y=(x:2)²-1 z=(x:2)²+1=y+2			x=16n-4 y=(x:4)²-4 z=(x:4)²+4=y+8			x=36n-12 y=(x:6)²-9 z=(x:6)²+9=y+18			x=64n-24 y=(x:8)²-16 z=(x:8)²+16 =y+32			x=100n-40 y=(x:10)²-25 z=(x:10)²+25=y+50			x=144n-60 y=(x:12)²-36 z=(x:12)²+36=y+72			x=196n-84 y=(x:14)²-49 z=(x:14)²+49=y+98			x=256n-112 y=(x:16)²-64 z=(x:16)²+64=y+128			x=324n-144 y=(x:18)²-81 z=(x:18)²+81=y+162			x=400n-180 y=(x:20)²-100 z=(x:20)²+100=y+200
In ogni serie (S) il numero intermedio di ogni terna coincide con la somma del primo numero della stessa terna con il primo e il secondo numero della terna immediatamente precedente; ad esempio: 8+4+3=15, 28+12+5=45, ecc.
4²+3²=5²			8²+15²=17²			12²+35²=37²			16²+63²=65²			20²+99²=101²			24²+143²=145²			28²+195²=197²			32²+255²=257²			36²+323²=325²			40²+399²=401²
3	4	5	15	8	17	35	12	37	63	16	65	99	20	101	143	24	145	195	28	197	255	32	257	323	36	325	399	40	401
5	12	13	33	56	65	85	132	157	161	240	289	261	380	461	385	552	673	533	756	925	705	992	1217	901	1260	1549	1121	1560	1921
7	24	25	51	140	149	135	352	377	259	660	709	423	1064	1145	627	1564	1685	871	2160	2329	1155	2852	3077	1479	3640	3929	1843	4524	4885
9	40	41	69	260	269	185	672	697	357	1276	1325	585	2072	2153	869	3060	3181	1209	4240	4409	1605	5612	5837	2057	7176	7465	2565	8932	9293
11	60	61	87	416	425	235	1092	1117	455	2088	2137	747	3404	3485	1111	5040	5161	1547	6996	7165	2055	9272	9497	2635	11868	12157	3287	14784	15145
13	84	85	105	608	617	285	1612	1637	553	3096	3145	909	5060	5141	1353	7504	7625	1885	10428	10597	2505	18832	14057	3213	17716	18005	4009	22080	22441
15	112	113	123	836	945	335	2232	2257	651	4300	4349	1071	7040	7121	1595	10452	10573	2223	14536	14705	2955	19292	19517	3791	24720	25009	4731	30820	31181
17	144	145	141	1100	1109	385	2952	2977	749	5700	5749	1233	9344	9425	1837	13884	14005	2561	19320	19489	3405	25652	25877	4369	32880	33169	5453	41004	41365
19	180	181	159	1400	1409	435	3772	3797	847	7296	7345	1395	11972	12053	2079	17800	17921	2899	24780	24949	3855	32912	33137	4947	42196	42485	6175	52632	52993
21	220	221	177	1736	1745	485	4692	4717	945	9088	9137	1557	14924	15005	2321	22200	22321	3237	30916	31085	4305	41072	41297	5525	52668	52957	6897	65704	66065
a=2	S1	b=1	a=18	S3	b=9	a=50	S5	b=25	a=98	S7	b=49	a=162	S9	b=81	a=242	S11	b=121	a=338	S13	b=169	a=450	S15	b=225	a=578	S17	b=289	a=722	S19	b=361
x=2n+1 y=[x²-(1⁴)]:2 z=(x²+1⁴):2=y+1			x=18n-3 y=[x²-(3⁴)]:18 z=(x²+3⁴):18=y+9			x=50n-15 y=[x²-(5⁴)]:50 z=(x²+5⁴):50=y+25			x=98n-35 y=[x²-(7⁴)]:98 z=(x²+7⁴):98=y+49			x=162n-63 y=[x²-(9⁴)]:162 z=(x²+9⁴):162=y+81			x=242n-99 y=[x²-(11⁴)]:242 z=(x²+11⁴):242=y+121			x=338n-143 y=[x²-(13⁴)]:338 z=(x²+13⁴):338=y+169			x=450n-195 y=[x²-(15⁴)]:450 z=(x²+15⁴):450=y+225			x=578n-255 y=[x²-(17⁴)]:578 z=(x²+17⁴):578=y+289			x=722n-323 y=[x²-(19⁴)]:722 z=(x²+19⁴):722=y+361
Costruite le due serie (sopra, riportate orizzontalmente in giallo), invertendo i primi due numeri di ogni loro terna, si può costruire una serie infinita di serie di terne, con distanze numeriche di quadrati, della metà o del doppio.
Per ottenere la terna ennesima (n) di una serie si possono utilizzare le formule ricavate dalla relativa tabella. Per ottenere la formula di una serie (anche negativa!) dispari (d) o pari (p) si possono per Sd e per Sp utilizzare due formule più generali.
Per Sd si ha: x=2d²n-(d²)+2d, y=[x²-(d⁴)]:2d², z=(x²+d⁴):2d² oppure, risolto y, più semplicemente, z=y+d² Per Sp si ha: x=p²n-(p²:2)+p, y=(x:p)²-[(p:2)²], z=(x:p)²+(p:2)²oppure, risolto y, più semplicemente, z=y+(p²:2)

2° Quadro: derivato dal 1° Quadro, tramite le due principali serie di terne "S1" e "S2" (evidenziate in azzurro e in verde)

Partendo da una qualunque terna del 1°quadro, si possono costruire infinite terne caratterizzate, alternativamente dalla distanza "d" tra il primo e il secondo numero della terna e dalla distanza "p" tra il primo e il secondo numero della successiva, con d = -p
3²+4²=5²			5²+12²=13²			7²+24²=25²			9²+40²=41²			11²+60²=61²			13²+84²=85²			15²+112²=113²			17²+144²=145²			19²+180²=181²			21²+220²=221²
3	4	5	5	12	13	7	24	25	9	40	41	11	60	61	13	84	85	15	112	113	17	144	145	19	180	181	21	220	221
21	20	29	55	48	73	105	88	137	171	140	221	253	204	325	351	280	449	465	368	593	595	468	757	741	580	941	903	704	1145
119	120	169	297	304	425	555	572	797	893	924	1285	1311	1360	1889	1809	1880	2609	2387	2484	3445	3045	3172	4397	3783	3944	5465	4601	4800	6649
697	696	985	1755	1748	2477	3293	3276	4645	5311	5280	7489	7809	7760	11009	10787	10716	15205	14245	14148	20077	18183	18056	25625	22601	22440	31849	27499	27300	38749
4059	4060	5741	10205	10212	14437	19135	19152	27073	30849	30880	43649	45347	45396	64165	62629	62700	88621	82695	82792	117017	105545	105672	149353	131179	131340	185629	159597	159796	225845
d=1	Sa1	p=-1	d=7	Sa3	p=-7	d=17	Sa5	p=-17	d=31	Sa7	p=-31	d=49	Sa9	p=-49	d=71	Sa11	p=-71	d=97	Sa13	p=-97	d=127	Sa15	p=-127	d=161	Sa17	p=-161	d=199	Sa19	p=-199

In ogni serie (Sa) il terzo numero di ogni terna coincide con la somma tra il secondo numero della stessa terna e il secondo e il terzo numero della terna immediatamente precedente ; ad esempio: 20+4+5=29, 48+12+13=73, ecc.
4²+3²=5²			8²+15²=17²			12²+35²=37²			16²+63²=65²			20²+99²=101²			24²+143²=145²			28²+195²=197²			32²+255²=257²			36²+323²=325²			40²+399²=401²
4	3	5	8	15	17	12	35	37	16	63	65	20	99	101	24	143	145	28	195	197	32	255	257	36	323	325	40	399	401
20	21	29	72	65	97	156	133	205	272	225	353	420	341	541	600	481	769	812	645	1037	1056	833	1345	1332	1045	1693	1640	1281	2081
120	119	169	396	403	565	832	855	1193	1428	1475	2053	2184	2263	3145	3100	3219	4469	4176	4343	6025	5412	5635	7813	6808	7095	9833	8364	8723	12085
696	697	985	2332	2325	3293	4928	4905	6953	8484	8437	11965	13000	12921	18329	18476	18357	26045	24912	24745	35113	32308	32085	45533	40664	40377	57305	49980	49621	70429
4060	4059	5741	13568	13575	19193	28644	28667	40525	49288	49335	69737	75500	75579	106829	107280	107399	151801	144628	144795	204653	187544	187767	265385	236028	236315	333997	290080	290439	410489
d=-1	Sa2	p=1	d=7	Sa4	p=-7	d=23	Sa6	p=-23	d=47	Sa8	p=-47	d=79	Sa10	p=-79	d=119	Sa12	p=-119	d=167	Sa14	p=-167	d=223	Sa16	p=-223	d=287	Sa18	p=-287	d=359	Sa20	p=-359


1) Prendendo dal 1° quadro una qualsiasi terna x-y-z, dove la distanza tra il primo e il secondo numero sia uguale a "d" o "p" (opposti); 2) ponendola, nel 2° Quadro, come "Prima terna" della serie caratterizzata dalla stessa distanza "d" o "p"; 3) sostituendo i numeri della terna ai simboli x₁ y₁z₁; 4) chiamando "d" la distanza tra x₁e y₁: 5) le successive terne della stessa serie si ottengono con queste formule progressive, Seconda terna: x₂= x₁+ 2 (y₁+ z₁) y₂= x₂+ p z₂= y₂+ y₁+ z₁ Terza terna: x₃= x₂+ 2 (y₂+ z₂) y₃= x₂+ d z₃= y₃+ y₂+ z₂ ............................................................................................................................... Terna ennesima pari: x_2n= x_2n-1+ 2 (y_2n-1 + z_2n-1) y_2n= x_2n+ p z_2n= y_2n+ y_2n-₁+ z_2n-1 Terna ennesima dispari: x_2n+1= x_2n+ 2 (y_2n + z_2n) y_2n+1= x_2n+1+ d z_2n+1= y_2n+1+ y_2n+ z_2n

Risoluzioni

a) Non ha senso ricercare, nel 2° Quadro, altre formule più generali che permettano di individuare la terna ennesima di una serie "Sa", senza passare dalla terna immediatamente precedente, come nel 1° Quadro, le cui formule ausiliarie sembrerebbero essere ancora suscettibili di ulteriori generalizzazioni rispetto alle serie complementari di altre possibili tabelle, per la costruzione delle quali si possono usare criteri più o meno simili a quelli "a" e "b". Se, infatti, si assegnano a "S" anche dei valori negativi, quelle stesse formule producono altre famose terne non immediatamente presenti: ad esempio, 21-20-29 si ottiene per S=-3 e n=2, oppure, 20-21-29 per S=-4 e n=2. Ciò induce a ritenere che il 1° Quadro, pur apparentemente non esaustivo, sia virtualmente completo, cioè in grado di produrre tutte le possibili terne pitagoriche. Quindi quelle formule escludono ulteriori e più semplici generalizzazioni. I criteri "a" e "b", d'altra parte, sembrano i più semplici e convenienti per catalogare le infinite serie; e, perciò, aggiungere altri quadri con altri criteri porterebbe solo a seriazioni diverse delle stesse terne già tutte individuabili con le formule ausiliarie ricavate dal 1° Quadro.

b) Ha senso, invece, limitarsi a catalogare ogni terna, individuata con i criteri del 2° Quadro, assegnandole un altro ma non esclusivo numero di serie di appartenenza; e ciò è possibile farlo, risalendo, nel 1° Quadro, alla collocazione della terna di partenza: ad esempio, se si parte dalla serie "S1" con la prima terna, allora nel 2° Quadro risulterà la prima della "Sa1"; la seconda terna "S1" sarà la prima della"Sa3"; la terza "S1" sarà la prima in "Sa5"e così via; in questo modo, ogni terna della serie "S1" rimane sempre la prima di una serie "Sa" dispari, il cui indice si deduce, tramite la serie del 1° Quadro, moltiplicando per 2 il numero d'ordine di ogni terna e sottraendogli 1; mentre, se si parte dalla "S2", ogni terna di questa serie sarà sempre la prima di una "Sa" pari, il cui indice si deduce moltiplicando per 2 il numero d'ordine di ogni terna della "S2".

c) Il risultato più apprezzabile di questi quadri è il fatto che essi permettono una catalogazione sistematica (anche se non esclusiva*) di tutte le infinite terne pitagoriche e di tutte le loro infinite serie.

d) Le formule, qui, sono dedotte dai criteri e agiscono come motori di ricerca delle particolari terne che sottostanno agli stessi criteri.

e) Le formule sono dunque mezzo e non fine della catalogazione.

* ma questo è un pregio: viva la libertà!

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