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L'ultimo teorema di Fermat è ancora una congettura?

Tuesday, 24. November 2009, 17:15:09

algebra

I primi decenni del XX secolo Gödel aveva introdotto i due
teoremi di indecidibilità e Cohen, nel tentativo di fornire prove a questi
teoremi, analizzò alcuni teoremi indecidibili e tra questì comparve di nuovo
l’Ultimo Teorema di Fermat.

Andrew Wiles nasceva nel 1953. All’età di 10
anni si imbattè nel The Last Problem di Eric Temple Bell e decise che avrebbe
dimostrato l’Ultimo Teorema di Fermat. Laureatisi in matematica, sotto la guida
esperta di John Coates, iniziò, per ottenere il dottorato, a studiare le
equazioni ellittiche.

La definizione di “curve ellittiche” è quantomeno
fuorviante; non si tratta infatti né di ellissi, né tantomeno di curve nel senso
normale della parola. Si tratta invece di equazioni scritte nella forma

y2=x3+ax2+bx+c dove a,b,c sono
numeri interi qualsiasi

Tali equazioni hanno ricevuto il nome di “curve
ellittiche” perché in passato venivano utilizzate per calcolare i perimetri
delle ellissi e delle lungherzze delle orbite planetarie. Si tratta in realtà,
per particolari valori di a, b, e c, di dimostrare se le equazioni in esame sono
possibili (ammettono cioè soluzioni), o no. I problemi però connessi sono così
grandi e di difficile risoluzione che Wiles tentò di affrontare il problema
ricorrendo alla matematica modulare (o a orologio) e associando a ciascuna
equazione ellittica, una particolare E-Serie indicante tutte le soluzioni
ricavabili con orologi a base diversa.

Per esempio la E-Serie di
x3-x2=y2+y

Risulta: E1=1,
E2=4, E3=4, E4=8, E5=4,
E6=16, E7=9, E8=16, ...

Nel Settembre
1955 si tenne a Tokyo un convegno internazionale di matematica. In questa
occasione Taniyama propose alcuni quesiti che volevano mettere in luce una
curiosa relazione fra le forme modulari e le equazioni ellittiche.

L’anno precedente infatti Tanayama aveva conusciuto casualmente Goro
Shimura (entrambi studenti di matematica all’Università di Tokyo). Frutto
soltanto di una semplice ma geniale intuizione di Tanaiyama, questi due
matematici iniziarono a mettere in relazione le M-Serie di diverse forme
modulari, con le E-Serie di altrettante equazioni ellittiche e notarono,
sorprendentemente, una corrispondenza perfetta. Purtroppo, nonostante in tutti i
numerosissimi casi analizzati fosse perfettamente ravvisabile questa bizzara
corrispondenza, i due matematici nipponici non seppero trovarnae una
giustificazione o una dimostrazione matematica, e si limitarono a furmulare una
semplice e perentoria congettura, che la storia avrebbe poi ricordato come
congettura Tanaiyama-Shimoro: “Per ogni forma modulare esiste una ed una sola
corrispondente equazione ellittica”. L’impatto di una scoperta così
rivoluzionaria avrebbe compromesso ed alterato per sempre la matematica
posteriore: questo sembrava il primo passo verso l’unificazione totale della
matematica e di tutte le sue più distanti branchie.

Negli anni
Sessanta, all’Istitue for Advanced Study di Princeton Robert Langlands fu
colpito dalla potenza della congettura di Taniyama-Shimura. Anche se non era
stata dimostrata, Langlands riteneva che la congettura rappresentasse soltanto
un elemento di uno schema di unificazione molto più generale. Quella fu assunta
come la prima di tutta una serie di congetture, ancora non tutte dimostate, per
il progetto di unificazione Langlands.

Nell’autunno 1984 un gruppo
selezionato di teorici dei numeri si ritrovò per un convegno a Oberwolfach, una
cittadina tedesca nel cuore della Foresta Nera. La riunione verteva sulle
equazioni ellittiche. Gerard Frey, uno di loro, ad un tratto si alzò in piedi,
scrisse alla lavagna l’equazione di Fermat e ipotizzò una possibile soluzione A,
B, C.

An + Bn = Cn con n>2

con una serie di passaggi matematici molto complesi, l’equazione
diventò:

y2 = x3 + (An -
Bn)x2 - AnBnx

Una
particolare equazione ellittica con a= (An - Bn), b=-
AnBn, c=0

In altre parole, l’argomentazione di
Frey era la seguente:

(1) Se (e solo se) l’Ultimo Teorema di Fernat è
falso, allora l’equazione ellittica di Frey esiste.

(2) L’equazione
ellittica di Frey è così strana che non può in nessun caso essere modulare.

(3) La congettura di Taniyama-Shimura afferma che ogni equazione
ellittica deve essere modulare.

(4) Quindi la congettura
Taniyama-Shimura deve essere falsa!

Ancora più importante è il fatto che
Frey poteva, in alternativa, condurre la sua argomentazione al contrario:

(1) Se è possibile dimostrare che la congettura di Taniyama-Shimura è
vera, allora ogni equazione ellittica deve essere modulare.

(2) Se ogni
equazione ellittica deve essere modulare, allora l’equazione ellittica di Frey
non può esistere.

(3) Se l’equazione ellittica di Frey non esiste,
allora l’equazione di Fermat non può avere soluzioni.

(4) Quindi
l’Ultimo Teorema di Fermat è vero!

Tutti i matematici tentarono la corsa
alla dimostrazione dell’equazione di Frey, incentrata sulla stranezza
dell’equazione fermatiana. In particolare Ken Ribet, professore dell’Università
della California a Berkeley, riuscì a dimostrarla per casi particolari. Il
professor Barry Mazur, venuto a conoscenza dei suoi risultati, gli consigliò di
“aggiungere qualche gamma-zero di struttura (M)” per poter generalizzare il
procedimento: la stranezza di Frey era oramai ampiamente dimostrata.

Faltings, nel frattempo, aveva dimostrato che le curve base del Teorema
di Fermat, presentavano sempre un numero crescemte di buchi, proporzionale alla
n. Ciò implicava che, qualora fossero esistitre risoluzioni, queste sarebbero
state di numero finito.

Wiles, iniziò a lavorare instancabilmente
sull'Ultimo Teorema e decise di proseguire con il metodo induttivo, ricercando
una serie di condizioni tali che, qualora fosse valsa la prima, le successive ne
sarebbero state una diretta conseguenza. Per conseguire questo risultato si
impegnò a fondo con il metodo Kolyvagin-Flach, uno dei più complessi fin allora
esistenti e lo perfezionò.

Il 23 Giugno 1993 al Sir Isacc Newton
Istitute di Cambrige, Wiles affermò di aver dimostrato l'Ultimo Teorema di
Fermat.

In seguito sarebbero state poste delle obiezioni che il
matematico riuscì a superare recuperando il metodo Iwasawua.

A
tutt'oggi, non si riesce a capire quale strada abbia seguito Pierre de Fermat,
l'illustre matematico seicentesco, per dimostrare la sua seconda osservazione.

Proponiamo di seguito alcune considerazioni che porterebbero
a confutare la dimostrazione di Andrew Wiles dell'Ultimo Teorema di Fermat, il
quale afferma che non esistono soluzioni intere positive all'equazione:

se n>2.

Antefatto

Testo di un telegramma inviato (29.08.02) a un noto
collega italiano:

Caro prof. X,

ecco la confutazione della
dimostrazione di Wiles:

1) Data la fondamentale ed essenziale valenza
normativa di ogni teorema;

2) Dato il teorema di Taniyama-Shimura;

3) Deriva che non è affatto corretto concedere l’attributo “ellittica” a
un’equazione in base alla forma (aspetto o somiglianza) di essa, ma solo in base
alla funzione (collocazione o collegamento) della medesima equazione.

Perciò,

1) Data la dimostrazione dell’enunciato
“Tutte le equazioni ellittiche corrispondono a forme modulari”;

2) Dato
che “L’equazione (…) di Frey non corrisponde in nessun caso a una forma
modulare”;

3) Consegue, semplicemente, che l’equazione di Frey non può
dirsi “ellittica”.

A Lei la conclusione!

Eccezione di
competenza

La dimostrazione di Wiles si articola in due fasi: una logica
e una matematica.

La fase logica concerne un ragionamento
schematizzabile in quattro punti, che si apre con l’ipotesi di falsità di un
primo enunciato e si chiude con la conseguente certezza di falsità di un secondo
enunciato; quindi lo stesso ragionamento è ripercorso in senso inverso,
procedendo dall’ipotesi di verità del secondo enunciato fino alla conseguente
certezza di verità del primo.

La fase matematica concerne una
dimostrazione del secondo enunciato della fase logica attraverso opportune
strategie di calcolo applicato a formule, che esprimono con simboli
convenzionali alcuni tipi di relazioni tra i numeri.

La fase logica ha
l’implicito scopo di collegare il primo enunciato al secondo in modo così
inestricabile da poter permettere di dichiarare la verità del primo, se si
dimostrasse la verità del secondo. Questa fase appare, pertanto, necessaria per
avviare il tentativo di dimostrare la falsità/verità del primo enunciato, ma non
è sufficiente, perché il ragionamento in essa espresso richiede come condizione
la dimostrazione di falsità/verità del secondo.

La fase matematica ha
l’esplicito scopo di dimostrare la verità del secondo enunciato, affinché si
possa dichiarare l’automatica verità anche del primo. La fase matematica appare,
pertanto, assolutamente indipendente dalla fase logica solo riguardo al metodo
con cui si dimostra la verità del secondo enunciato.

Quest’ultima
considerazione è evidente se si pensa che la dimostrazione del secondo enunciato
(la congettura di Taniyama-Shimura) avrebbe potuto essere fornita ben prima di
quella di Wiles, forse, da uno degli stessi ideatori prematuramente scomparso,
Taniyama.

La stessa fase matematica, d’altra parte, è totalmente
condizionata dalla fase logica riguardo all’attendibilità dell’intero
procedimento dimostrativo di Wiles, perché la fase logica appare anche
propedeutica a quella matematica in funzione dello scopo da raggiungere.

Se è chiaro, però, che l’intero procedimento dimostrativo dell’Ultimo
Teorema di Fermat da parte di Wiles si fonda sulla fase logica, allora, prima di
entrare nel merito di una possibile confutazione di esso, va sollevata
un’eccezione di competenza della disciplina preposta al giudizio di legittimità
o di nullità della dimostrazione del matematico inglese.

La Logica e
solo essa sarà, a ragione, l’unico “organo giurisdizionale” idoneo a valutare in
prima istanza la base dell’impianto di Wiles.

Dimostrazione indiretta
dell’Ultimo Teorema di Fermat

Consideriamo il ragionamento della fase
logica di Wiles, riportandone il testo, tratto da “L’Ultimo Teorema di Fermat”
di Simon Singh, il giornalista che ne ha divulgato con gran successo la
dimostrazione (fonte a cui mi limiterò, sia per semplicità sia perché l’autore
dichiara di aver svolto studi universitari di matematica: mi fido!).

Ecco il testo (p. 226 della versione italiana):

(1) Se (e solo
se) l’Ultimo Teorema di Fermat è falso, allora l’equazione ellittica di Frey
esiste.

(2) L’equazione ellittica di Frey è così strana che non può in
nessun caso essere modulare.

(3) La congettura di Taniyama-Shimura
afferma che ogni equazione ellittica deve essere modulare.

(4) Quindi la
congettura di Taniyama-Shimura deve essere falsa!

In alternativa,
l’argomentazione (di Frey) può essere condotta al contrario:

(1) Se è
possibile dimostrare che la congettura di Taniyama-Shimura è vera, allora ogni
equazione ellittica deve essere modulare.

(2) Se ogni equazione
ellittica deve essere modulare, allora l’equazione ellittica di Frey non può
esistere.

(3) Se l’equazione ellittica di Frey non esiste, allora
l’equazione di Fermat non può avere soluzioni.

(4) Quindi l’Ultimo
Teorema di Fermat è vero!

Come è evidente, se l’argomentazione poggia su
una logica stringente, basata a sua volta su dati certi (l’equazione ellittica
di Frey), si dovrà soltanto dimostrare la verità della congettura di
Taniyama-Shimura per cogliere senza altri sforzi quella dell’Ultimo Teorema di
Fermat.

E’ noto che, nel 1995, Wiles ha dimostrato la congettura di
Taniyama-Shimura: la comunità scientifica, pertanto, la considera un teorema
acquisito.

Allo stesso Wiles è stato anche riconosciuto, con un ambito
premio, il merito di aver dimostrato finalmente l’Ultimo Teorema di Fermat.

Tutti sono d’accordo, comunque, nel ritenere che Wiles sia pervenuto a
questa conclusione in modo indiretto e che la sua soluzione sia ben lontana da
quella che lo stesso Fermat riferì di aver trovato: una “dimostrazione
meravigliosa” che, a credergli, dovrebbe essere raggiungibile solo ricostruendo
una strategia di tipo diretto o sperimentale.

Dimostrazione indiretta
della ”Demonstratio mirabilis di Fermat”

Se il risultato di Wiles è
universalmente condiviso, allora il procedimento che ha condotto ad esso potrà
essere esteso ad altre congetture.

Applichiamo, quindi, lo stesso metodo
dimostrativo a un’altra congettura, che potrebbe suscitare un certo interesse.

(1) Se (e solo se) la “Demonstratio mirabilis di Fermat” è falsa, allora
la dimostrazione indiretta di Wiles esiste.

(2) La dimostrazione
indiretta di Wiles è così strana che non può in nessun caso essere diretta.

(3) La congettura di Chip En Sai afferma che ogni dimostrazione
indiretta deve essere diretta.

(4) Quindi la congettura di Chip En Sai
deve essere falsa!

In alternativa, l’argomentazione (di Chip En Sai) può
essere condotta al contrario:

(1) Se è possibile dimostrare che la
congettura di Chip En Sai è vera, allora ogni dimostrazione indiretta deve
essere diretta.

(2) Se ogni dimostrazione indiretta deve essere diretta,
allora la dimostrazione indiretta di Wiles non può esistere.

(3) Se la
dimostrazione indiretta di Wiles non esiste, allora l’equazione di Fermat non
può avere soluzioni.

(4) Quindi la ”Demonstratio mirabilis di Fermat” è
vera!

Come è evidente, se l’argomentazione poggia su una logica
stringente, basata a sua volta su dati certi (la dimostrazione indiretta di
Wiles), si dovrà soltanto dimostrare la verità della congettura di Chip En Sai
per cogliere senza altri sforzi quella della “Demonstratio mirabilis di Fermat”.

Dimostrazione della congettura di Chip En Sai

Richiamando
l’eccezione di competenza, questa dimostrazione non può che essere di natura
logica.

Enunciato: Ogni dimostrazione indiretta deve essere diretta8.

Consideriamo, pertanto, il ragionamento seguente:

(1) Se la
congettura di Taniyama-Shimura è falsa, allora un’equazione ellittica che non
sia modulare esiste.

(2) L’equazione ellittica di Frey è così strana che
non può in nessun caso essere modulare.

(3) L’equazione ellittica di
Frey esiste se (e solo se) l’Ultimo Teorema di Fermat è falso.

(4)
Quindi l’Ultimo Teorema di Fermat è falso!

In alternativa,
l’argomentazione (di Chip En Sai) può essere condotta al contrario:

(1)
Se è possibile dimostrare che l’Ultimo Teorema di Fermat è vero, allora
l’equazione ellittica di Frey non esiste.

(2) Se l’equazione ellittica
di Frey non esiste, allora non esiste un’equazione ellittica che non sia
modulare.

(3) Se non esiste un’equazione ellittica che non sia modulare,
allora tutte le equazioni ellittiche devono essere modulari secondo Taniyama e
Shimura.

(4) Quindi la congettura di Taniyama-Shimura è vera!

Come è evidente, se l’argomentazione poggia su una logica stringente,
basata a sua volta su dati certi (l’equazione ellittica di Frey), si dovrà
soltanto dimostrare la verità dell’Ultimo Teorema di Fermat per cogliere senza
altri sforzi quella della congettura di Taniyama-Shimura.

Il confronto
tra questo ragionamento e quello di Wiles, permette di rilevare senza ombra di
dubbio che la congettura di Fermat (UTF) e quella di Taniyama-Shimura sono
contemporaneamente l’una per l’altra, con simmetrica reciprocità, mezzo e fine
per la propria dimostrazione ovvero per la promozione di esse a teoremi.

Se è possibile, dunque, dimostrare sia indirettamente sia direttamente
ognuna delle due, allora la congettura di Chip En Sai diventa un teorema logico.

Tale teorema, però, dimostrerebbe solo indirettamente l’inesistenza
della dimostrazione indiretta di Wiles, cioè la sua falsità; e se ciò è vero,
allora è possibile e doveroso presentare anche una dimostrazione diretta della
falsità o una confutazione della stessa soluzione del matematico inglese.

Dimostrazione diretta della falsità (confutazione) della fase logica di
Wiles

Se bastasse il solo controesempio alla fase logica di Wiles,
costituito con la dimostrazione indiretta della “Demonstratio mirabilis di
Fermat”, tutto il ragionamento fin lì svolto contraddirebbe di conseguenza il
“teorema logico”: di qui la necessità di richiamare una dimostrazione diretta
(direi, di carattere storico!) della falsità del procedimento dimostrativo di
Wiles (tramite Frey), che finora è stata volutamente sottaciuta, ma che si
capirà essere precedente (vedi il testo del telegramma) al medesimo
controesempio, escogitato e anteposto solo per divertimento.

Consideriamo, perciò, lo stesso testo della fase logica come dato
sperimentale e ragioniamoci un po’ sopra, partendo dal seguente quesito:

Se la congettura di Taniyama-Shimura fosse stata riconosciuta come
teorema un discreto tempo prima della soluzione di Wiles, magari con una
dimostrazione degli stessi autori, si sarebbe poi capito di aver dimostrato
automaticamente e indirettamente vero l’Ultimo Teorema di Fermat?

La
risposta a questa domanda è cruciale; ed è NO!

Se, infatti, nell’ipotesi
suddetta, gli stessi Taniyama e Shimura, per ottenere anche il riconoscimento
della dimostrazione dell’UTF, avessero proposto di considerare “l’equazione
ellittica di Frey” così strana che non può essere in nessun caso modulare, si
sarebbero sentiti rispondere qualcosa del genere:

Se la formula cui
è giunto Frey non è modulare, allora semplicemente essa non corrisponde a
un’equazione ellittica, perché voi avete dimostrato che tutte le ellittiche
devono essere modulari.

L’obiezione non fa una grinza!

Se,
dunque, priviamo dell’attributo “ellittica” l’equazione di Frey e rileggiamo il
testo della fase logica di Wiles, crolla inesorabilmente e con gran frastuono
tutto il suo ragionamento, su cui finora si è retta l’inestricabilità del
rapporto tra l’Ultimo Teorema di Fermat e quello (ormai riconosciuto!) di
Taniyama-Shimura: il primo è ora (se non fosse per me!) così pericolante da
candidarsi alla retrocessione in “congettura”.

Formulazione finale

Davanti a una tale conclusione emerge fra tutte una semplice domanda:

Che cosa può aver provocato questo cataclisma?

La risposta più
convincente sembra essere questa:

L’inversione del metodo dimostrativo,
che di norma e regola non si avvia con un ragionamento per assurdo, ma con esso
si conclude.

La dimostrazione di Wiles incorre in questo errore di
fondo, come il testo della sua fase logica esprime a chiare lettere, quindi è
nulla o illegittima.

Enunciazione definitiva

Una qualunque
dimostrazione di una qualunque congettura matematica può essere avviata per
assurdo solo dopo una prima dimostrazione diretta o sperimentale della stessa
congettura, pena l’assurdità dell’intero procedimento dimostrativo.

1
Poiché l’accademico non ha risposto, è bene che non lo nomini.

2 Per
“Logica” intendo il comune buon senso: perciò, non sarà necessario avere
specifiche competenze logico-matematiche; e, inoltre si potrà seguire il
discorso anche senza alcuna cognizione dell’Ultimo Teorema di Fermat e con il
solo enunciato della congettura di Taniyama-Shimura.

3 Si tratta di
un’equazione ottenuta attraverso astruse alchimie tra due formule di Fermat
presentate con simboli alfabetici diversi; essa risulta avere un’incognita in
meno rispetto alle equazioni ellittiche. Considerando, però, uguale a zero la
stessa incognita, l’equazione di Frey è stata ugualmente definita “ellittica”,
anche se “strana”, perché risulterebbe “molto somigliante” (come se un mezzo a
tre ruote venisse chiamato “autovettura” anziché “triciclo”!… e poiché altre
eventuali incognite mancanti potevano ritenersi uguali a zero, si poteva
senz’altro utilizzare qualche ellittica ancora più strana!).

4
L’espressione “essere modulare” è sintetica e sta per “corrispondere a una forma
modulare”.

5 Se i numeri fossero visti come enti fisici, i cui fenomeni
dovessero essere oggetto di osservazione diretta senza, cioè, che, per
dimostrare qualcosa su di essi, li si sostituisse con le lettere (simboli forse
più nobili, ma meno matematici), con la pretesa di un adeguato rigore
dimostrativo; e se, invece, le lettere fossero usate solo come simboli delle
formule, cui si giungesse dopo l’osservazione e l’esperimento, secondo il metodo
della ricerca in Fisica.

6 La dimostrazione mirabile, che Fermat ritenne
di aver scoperto: che si può intendere solo come risultato di un metodo diretto
o sperimentale (ad es., di tipo geometrico!).

7 La trasposizione, qui
fatta, è coerente rispetto al punto (3) della fase logica di Wiles, poiché ogni
equazione ellittica e ogni corrispondente forma modulare risolvono correttamente
lo stesso problema in modo diverso, quindi l’una più direttamente dell’altra o
viceversa, secondo i casi.

8 Più esplicitamente: se una congettura
matematica può essere dimostrata indirettamente, tramite la dimostrazione di
un’altra, allora l’una deve essere dimostrata anche direttamente o in modo
assolutamente indipendente dall’altra e da qualunque altra congettura,
altrimenti si otterrebbe soltanto un corollario di un altro teorema e non un
teorema vero e proprio.

9 Non si mette, comunque, in discussione la
dimostrazione diretta da parte di Wiles della congettura di Taniyama-Shimura, ma
essa sola non basta a dimostrare quella di Fermat, che potrà essere dimostrata
forse solo direttamente (una dimostrazione diretta o “mirabile” dell’Ultimo
Teorema è già in mio possesso e sarà oggetto di una imminente pubblicazione per
l’edizione Scritti Volanti).

10 È evidente che, se la dimostrazione per
assurdo di un’ipotesi potesse correttamente precedere la dimostrazione vera e
propria, allora l’assurdità delle conclusioni del ragionamento per assurdo non
potrebbe basarsi su alcuna verità o certezza? Insomma, l’assurdità di un’ipotesi
o di una congettura deve avere un fondamento in qualcosa di assolutamente
contrario alla stessa ipotesi o congettura, cioè nella certezza o nel teorema
della assurdità di ciò che si è ipotizzato o congetturato: e come si può essere
certi di questa assurdità se la dimostrazione vera e propria o il teorema non la
precede?
...Cubocicloide

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Comments

Matematica
#
24. November 2009, 17:53

Lavoro in più per noi?!
...Cubocicloide

Chip En
Sai # 3.
December 2009, 15:50

Beh... che dire?!... Cubocicloide... sono lusingato dalla
*citazione*! .-)

Chip En
Sai # 8.
December 2009, 17:58

Allego tre link: il primo riguarda la pagina web originale; gli
altri due fanno riferimento a due discorsi di completamento!...

http://www.salvatorebaldinu.it/Confutazione%20semplice.htm

http://www.salvatorebaldinu.it/Verifica%20breve.htm

http://www.salvatorebaldinu.it/Dimostrazione%20mirabile.htm

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